Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 4} \frac{7 (x^{2} - 1)}{4 x^{2} {(x - 1)}^{3}}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{7}{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{7}{4} lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} {(x - 1)}^{3}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 1}{lim_{x \to 4} x^{2} {(x - 1)}^{3}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x^{2} {(x - 1)}^{3}}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{7}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x^{2} {(x - 1)}^{3}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x^{2} {(x - 1)}^{3}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 4} x^{2} \cdot lim_{x \to 4} {(x - 1)}^{3}}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{7}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 4} {(x - 1)}^{3}}$

Bước 8

Đưa số mũ $3$ từ ${(x - 1)}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{7}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 4} x - 1)}^{3}}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1)}^{3}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{4^{2} - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{4^{2} - 1 \cdot 1}{4^{2} \cdot {(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{4^{2} - 1 \cdot 1}{4^{2} \cdot {(4 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{16 - 1 \cdot 1}{4^{2} \cdot {(4 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Bước 12.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{16 - 1}{4^{2} \cdot {(4 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Bước 12.1.3

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{15}{4^{2} \cdot {(4 - 1 \cdot 1)}^{3}}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{15}{4^{2} {(4 - 1)}^{3}}$

Bước 12.2.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{15}{4^{2} \cdot 3^{3}}$

Bước 12.2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{15}{16 \cdot 3^{3}}$

Bước 12.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{15}{16 \cdot 27}$

Bước 12.3

Nhân $16$ với $27$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{15}{432}$

Bước 12.4

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $432$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{3 (5)}{432}$

Bước 12.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $432$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 144}$

Bước 12.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7}{4} \cdot \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 144}$

Bước 12.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{4} \cdot \frac{5}{144}$

Bước 12.5

Nhân $\frac{7}{4} \cdot \frac{5}{144}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Nhân $\frac{7}{4}$ với $\frac{5}{144}$ .

$\frac{7 \cdot 5}{4 \cdot 144}$

Bước 12.5.2

Nhân $7$ với $5$ .

$\frac{35}{4 \cdot 144}$

Bước 12.5.3

Nhân $4$ với $144$ .

$\frac{35}{576}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{35}{576}$

Dạng thập phân:

$0.060763\overline{8}$