Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \cos (7 x)}{1 - \cos (4 x)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 1 - \cos (7 x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} \cos (7 x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Bước 3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 4} \cos (7 x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 4} 7 x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Bước 5

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} 1 - \cos (4 x)}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} \cos (4 x)}$

Bước 7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{1 - lim_{x \to 4} \cos (4 x)}$

Bước 8

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{1 - \cos (lim_{x \to 4} 4 x)}$

Bước 9

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 4} x)}{1 - \cos (4 lim_{x \to 4} x)}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{1 - \cos (7 \cdot 4)}{1 - \cos (4 lim_{x \to 4} x)}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{1 - \cos (7 \cdot 4)}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $7$ với $4$ .

$\frac{1 - \cos (28)}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Bước 11.1.2

Tính $\cos (28)$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 0.88294759}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Bước 11.1.3

Nhân $- 1$ với $0.88294759$ .

$\frac{1 - 0.88294759}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Bước 11.1.4

Trừ $0.88294759$ khỏi $1$ .

$\frac{0.1170524}{1 - \cos (4 \cdot 4)}$

Bước 11.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{0.1170524}{1 - \cos (16)}$

Bước 11.2.2

Tính $\cos (16)$ .

$\frac{0.1170524}{1 - 1 \cdot 0.96126169}$

Bước 11.2.3

Nhân $- 1$ với $0.96126169$ .

$\frac{0.1170524}{1 - 0.96126169}$

Bước 11.2.4

Trừ $0.96126169$ khỏi $1$ .

$\frac{0.1170524}{0.0387383}$

Bước 11.3

Chia $0.1170524$ cho $0.0387383$ .

$3.02161929$