Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\sqrt{x}}{2 + x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 + x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 2 + x$ .

$\frac{(2 + x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{(2 + x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 + x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 8.3

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 10

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 11

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(2 + x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.1.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.1.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.1.4

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.4.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.4.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.1.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.1.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.1.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.1.4.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.2

Để viết $- x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.3

Kết hợp $- x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.1.1

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.5.1.1.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.5.1.1.2

Nhân với $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.5.1.1.3

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.5.1.1.4

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.5.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.5.1.3

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.5.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$ với $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.2

Kết hợp.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.5

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.6

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.6.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{2}{2}}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.6.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{1 - \frac{x^{1}}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.3.7

Rút gọn $x^{1}$ .

$\frac{1 - \frac{x}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- \frac{x}{2} + 1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{- \frac{x}{2} + \frac{2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{- x + 2}{2}}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{- x + 2}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.7

Nhân $\frac{- x + 2}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- x + 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2})}$

Bước 14.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.9

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.11

Viết lại $- (x - 2)$ ở dạng $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$

Bước 14.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x - 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {(2 + x)}^{2}}$