Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} 4 \sin (x π) + 2 \cos (x π)$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$lim_{x \to 3} 4 \sin (x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Bước 2

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 lim_{x \to 3} \sin (x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$4 \sin (lim_{x \to 3} x π) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Bước 4

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + lim_{x \to 3} 2 \cos (x π)$

Bước 5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 lim_{x \to 3} \cos (x π)$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 \cos (lim_{x \to 3} x π)$

Bước 7

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 \sin (π lim_{x \to 3} x) + 2 \cos (π lim_{x \to 3} x)$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$4 \sin (π \cdot 3) + 2 \cos (π lim_{x \to 3} x)$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$4 \sin (π \cdot 3) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$4 \sin (3 \cdot π) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Bước 9.1.2

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$4 \sin (π) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Bước 9.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$4 \sin (0) + 2 \cos (π \cdot 3)$

Bước 9.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$4 \cdot 0 + 2 \cos (π \cdot 3)$

Bước 9.1.5

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + 2 \cos (π \cdot 3)$

Bước 9.1.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$0 + 2 \cos (3 \cdot π)$

Bước 9.1.7

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$0 + 2 \cos (π)$

Bước 9.1.8

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$0 + 2 (- \cos (0))$

Bước 9.1.9

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Bước 9.1.10

Nhân $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.10.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Bước 9.1.10.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2$

Bước 9.2

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$