Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2 + 4 x - 21}}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

Bước 1.4

Trừ $21$ khỏi $2$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{4 x - 19}}$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $x^{4 x - 19}$ ở dạng $e^{\ln (x^{4 x - 19})}$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{4 x - 19})}}$

Bước 2.2

Khai triển $\ln (x^{4 x - 19})$ bằng cách di chuyển $4 x - 19$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{(4 x - 19) \ln (x)}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} (4 x - 19) \ln (x)}}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} 4 x - 19 \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Bước 3.4

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Bước 3.5

Tính giới hạn của $19$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Bước 3.6

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Bước 4.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$(3 - 1 \cdot 3) e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$(3 - 3) e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.3

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$0 e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $4$ với $3$ .

$0 e^{- (12 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.4.2

Nhân $- 1$ với $19$ .

$0 e^{- (12 - 19) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.5

Trừ $19$ khỏi $12$ .

$0 e^{- - 7 \cdot \ln (3)}$

Bước 5.6

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$0 e^{7 \cdot \ln (3)}$

Bước 5.7

Rút gọn $7 \cdot \ln (3)$ bằng cách di chuyển $7$ trong logarit.

$0 e^{\ln (3^{7})}$

Bước 5.8

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$0 \cdot 3^{7}$

Bước 5.9

Nâng $3$ lên lũy thừa $7$ .

$0 \cdot 2187$

Bước 5.10

Nhân $0$ với $2187$ .

$0$