Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \frac{x \sqrt{1 x^{2} + 7}}{2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 1

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x \sqrt{x^{2} + 7}}{2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \sqrt{x^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 6

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 7

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 9

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} \sqrt{2 x + 3}}$

Bước 10

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{lim_{x \to 3} 2 x + 3}}$

Bước 11

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 3}}$

Bước 12

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}}$

Bước 13

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Bước 14

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Bước 14.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3^{2} + 7}}{2 lim_{x \to 3} x - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Bước 14.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3^{2} + 7}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 lim_{x \to 3} x + 3}}$

Bước 14.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3^{2} + 7}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Bước 15

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3 \sqrt{9 + 7}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Bước 15.1.2

Cộng $9$ và $7$ .

$\frac{3 \sqrt{16}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Bước 15.1.3

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Bước 15.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Bước 15.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{2 \cdot 3 + 3}}$

Bước 15.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{6 + 3}}$

Bước 15.2.3

Cộng $6$ và $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{9}}$

Bước 15.2.4

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - \sqrt{3^{2}}}$

Bước 15.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3 \cdot 4}{6 - 1 \cdot 3}$

Bước 15.2.6

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{6 - 3}$

Bước 15.2.7

Trừ $3$ khỏi $6$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3}$

Bước 15.3

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{12}{3}$

Bước 15.4

Chia $12$ cho $3$ .

$4$