Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{2 + 5 x - 3 x^{3}}{x^{2} - 1}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{2 + 5 x - 3 x^{3}}{x^{2} - 1}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + 5 x - 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3 x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 lim_{x \to 3} x^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Bước 7

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{3}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{3}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $5$ với $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 3^{3}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 27}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.3

Nhân $- 3$ với $27$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.4

Cộng $2$ và $15$ .

$\sqrt[3]{\frac{17 - 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.5

Trừ $81$ khỏi $17$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{9 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{9 - 1}}$

Bước 12.8

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 64}{8}}$

Bước 12.9

Chia $- 64$ cho $8$ .

$\sqrt[3]{- 8}$

Bước 12.10

Viết lại $- 8$ ở dạng ${(- 2)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

Bước 12.11

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$- 2$