Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \frac{x + 2}{x^{2} (\sqrt{x + 6} + x)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{lim_{x \to 3} x^{2} (\sqrt{x + 6} + x)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 2}{lim_{x \to 3} x^{2} (\sqrt{x + 6} + x)}$

Bước 3

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{lim_{x \to 3} x^{2} (\sqrt{x + 6} + x)}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{lim_{x \to 3} x^{2} \cdot lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} + x}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} + x}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Bước 9

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 + 2}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 + 2}{3^{2} \cdot (\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 + 2}{3^{2} \cdot (\sqrt{3 + 6} + lim_{x \to 3} x)}$

Bước 10.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3 + 2}{3^{2} \cdot (\sqrt{3 + 6} + 3)}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{5}{3^{2} \cdot (\sqrt{3 + 6} + 3)}$

Bước 11.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Cộng $3$ và $6$ .

$\frac{5}{3^{2} (\sqrt{9} + 3)}$

Bước 11.2.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{5}{3^{2} (\sqrt{3^{2}} + 3)}$

Bước 11.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{5}{3^{2} (3 + 3)}$

Bước 11.2.4

Cộng $3$ và $3$ .

$\frac{5}{3^{2} \cdot 6}$

Bước 11.2.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{5}{9 \cdot 6}$

Bước 11.3

Nhân $9$ với $6$ .

$\frac{5}{54}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5}{54}$

Dạng thập phân:

$0.0\overline{925}$