Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 7} + \sqrt{3 x - 5}}{x + 2}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 7} + \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 6

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + lim_{x \to 3} \sqrt{3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{lim_{x \to 3} 3 x - 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 9

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 10

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 11

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 2}$

Bước 12

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 13

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 7} + \sqrt{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 13.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 7} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{lim_{x \to 3} x + 2}$

Bước 13.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} + 7} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Bước 14.1.2

Cộng $9$ và $7$ .

$\frac{\sqrt{16} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Bước 14.1.3

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}} + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Bước 14.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{4 + \sqrt{3 \cdot 3 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Bước 14.1.5

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{9 - 1 \cdot 5}}{3 + 2}$

Bước 14.1.6

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{4 + \sqrt{9 - 5}}{3 + 2}$

Bước 14.1.7

Trừ $5$ khỏi $9$ .

$\frac{4 + \sqrt{4}}{3 + 2}$

Bước 14.1.8

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{3 + 2}$

Bước 14.1.9

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{4 + 2}{3 + 2}$

Bước 14.1.10

Cộng $4$ và $2$ .

$\frac{6}{3 + 2}$

Bước 14.2

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{6}{5}$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{6}{5}$

Dạng thập phân:

$1.2$