Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 - \sqrt{x^{3} - 2}}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 3 - \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Bước 3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{lim_{x \to 3} x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Bước 7

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Bước 8

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

Bước 11

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 - \sqrt{3^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Bước 12.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 - \sqrt{3^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{3^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{27 - 1 \cdot 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{27 - 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13.1.4

Trừ $2$ khỏi $27$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{25}}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13.1.5

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{9 + 3 - 1 \cdot 5}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13.1.7

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{9 + 3 - 5}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13.1.8

Cộng $9$ và $3$ .

$\frac{12 - 5}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13.1.9

Trừ $5$ khỏi $12$ .

$\frac{7}{\sqrt{3 + 1}}$

Bước 13.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{7}{\sqrt{4}}$

Bước 13.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{7}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 13.2.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{7}{2}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{7}{2}$

Dạng thập phân:

$3.5$