Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - x}{x^{3} + 3 x^{2}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} - x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} - lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} - lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} - lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} - lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} 3 x^{2}}$

Bước 7

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} - lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} 3 x^{2}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} - lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 3 lim_{x \to 3} x^{2}}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 6} - lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 6} - lim_{x \to 3} x}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 6} - 3}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 6} - 3}{3^{3} + 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}$

Bước 10.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{3 + 6} - 3}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2}}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Cộng $3$ và $6$ .

$\frac{\sqrt{9} - 3}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2}}$

Bước 11.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 3}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2}}$

Bước 11.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3 - 3}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2}}$

Bước 11.1.4

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{0}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2}}$

Bước 11.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{0}{27 + 3 \cdot 3^{2}}$

Bước 11.2.2

Nhân $3$ với $3^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Nhân $3$ với $3^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0}{27 + 3^{1} \cdot 3^{2}}$

Bước 11.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{0}{27 + 3^{1 + 2}}$

Bước 11.2.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{0}{27 + 3^{3}}$

Bước 11.2.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{0}{27 + 27}$

Bước 11.2.4

Cộng $27$ và $27$ .

$\frac{0}{54}$

Bước 11.3

Chia $0$ cho $54$ .

$0$