Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2 - 6 x + 9}}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x - 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Bước 1.3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Bước 1.4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Bước 1.5

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2 - 6 x + 9}}$

Bước 1.6

Cộng $2$ và $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{- 6 x + 11}}$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $x^{- 6 x + 11}$ ở dạng $e^{\ln (x^{- 6 x + 11})}$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{- 6 x + 11})}}$

Bước 2.2

Khai triển $\ln (x^{- 6 x + 11})$ bằng cách di chuyển $- 6 x + 11$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{(- 6 x + 11) \ln (x)}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} (- 6 x + 11) \ln (x)}}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} - 6 x + 11 \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- lim_{x \to 3} 6 x + lim_{x \to 3} 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Bước 3.4

Chuyển số hạng $6$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Bước 3.5

Tính giới hạn của $11$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Bước 3.6

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 lim_{x \to 3} x + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Bước 4.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Bước 4.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\frac{3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $e^{(- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$(3^{2} - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$(9 - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.2.2

Nhân $- 2$ với $3$ .

$(9 - 6 - 1 \cdot 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$(9 - 6 - 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.3

Trừ $6$ khỏi $9$ .

$(3 - 3) e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.4

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$0 e^{- (- 6 \cdot 3 + 11) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.5

Nhân $- 6$ với $3$ .

$0 e^{- (- 18 + 11) \cdot \ln (3)}$

Bước 5.6

Cộng $- 18$ và $11$ .

$0 e^{- - 7 \cdot \ln (3)}$

Bước 5.7

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$0 e^{7 \cdot \ln (3)}$

Bước 5.8

Rút gọn $7 \cdot \ln (3)$ bằng cách di chuyển $7$ trong logarit.

$0 e^{\ln (3^{7})}$

Bước 5.9

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$0 \cdot 3^{7}$

Bước 5.10

Nâng $3$ lên lũy thừa $7$ .

$0 \cdot 2187$

Bước 5.11

Nhân $0$ với $2187$ .

$0$