Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\sin^{2} (x)$ ra ngoài.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Bước 3

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Bước 3.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Bước 3.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Bước 7

Kết hợp $- u]_{1}^{0}$ và $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ .

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ tại $0$ và tại $1$ .

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 8.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 8.2.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $0$ .

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 8.2.4

Cộng $0$ và $0$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 8.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Bước 8.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Bước 8.2.7

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

Bước 8.2.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Bước 8.2.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Bước 8.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Bước 8.2.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.11.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

Bước 8.2.11.2

Cộng $- 3$ và $1$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

Bước 8.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - - \frac{2}{3}$

Bước 8.2.13

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

Bước 8.2.14

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

Bước 8.2.15

Cộng $0$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{6}$