Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{x}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Bước 4

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Bước 6

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Bước 7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Bước 7.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Bước 8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 2}}}{8}$

Bước 8.2.2

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{6}}}{8}$

Bước 8.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $512$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $512$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 (256)}{6}}}{8}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Bước 8.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Bước 8.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{\frac{256}{3}}}{8}$

Bước 8.3.2

Viết lại $\sqrt{\frac{256}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}}{8}$

Bước 8.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Viết lại $256$ ở dạng $16^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{16^{2}}}{\sqrt{3}}}{8}$

Bước 8.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}}}{8}$

Bước 8.3.4

Nhân $\frac{16}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{8}$

Bước 8.3.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Nhân $\frac{16}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{8}$

Bước 8.3.5.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{8}$

Bước 8.3.5.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{8}$

Bước 8.3.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{8}$

Bước 8.3.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{8}$

Bước 8.3.5.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{8}$

Bước 8.3.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{8}$

Bước 8.3.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Bước 8.3.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Bước 8.3.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{1}}}{8}$

Bước 8.3.5.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Bước 8.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{16 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Bước 8.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Đưa $8$ ra ngoài $16 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Bước 8.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Bước 8.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dạng thập phân:

$1.15470053 \dots$