Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{1 - (\cos^{2} (3 x))}{x \sin (5 x)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - (\cos^{2} (3 x))}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Bước 3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (3 x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 8} \cos (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 8} 3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Bước 6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (5 x)}$

Bước 8

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} 5 x)}$

Bước 9

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sin^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Bước 11.2

Đưa $\sin (3 \cdot 8)$ ra ngoài $\sin^{2} (3 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8) \sin (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Bước 11.3

Tách các phân số.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$

Bước 11.4

Viết lại $\frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$ ở dạng một tích.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Bước 11.5

Viết $\sin (3 \cdot 8)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\frac{\sin (3 \cdot 8)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Bước 11.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Chia $\sin (3 \cdot 8)$ cho $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Bước 11.6.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (5 \cdot 8)}$ sang $\csc (5 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Bước 11.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{\sin (24)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Bước 11.7.2

Tính $\sin (24)$ .

$\frac{0.40673664}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Bước 11.8

Chia $0.40673664$ cho $8$ .

$0.05084208 (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Bước 11.9

Nhân $3$ với $8$ .

$0.05084208 (\sin (24) \csc (5 \cdot 8))$

Bước 11.10

Tính $\sin (24)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (5 \cdot 8))$

Bước 11.11

Nhân $5$ với $8$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (40))$

Bước 11.12

Tính $\csc (40)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$

Bước 11.13

Nhân $0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.13.1

Nhân $0.40673664$ với $1.55572382$ .

$0.05084208 \cdot 0.63276988$

Bước 11.13.2

Nhân $0.05084208$ với $0.63276988$ .

$0.03217133$