Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2} \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{(\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Bước 10

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Bước 11.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân $5$ với $8$ .

$\frac{(\sqrt{40} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Bước 12.1.2

Viết lại $40$ ở dạng $2^{2} \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $40$ .

$\frac{(\sqrt{4 (10)} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Bước 12.1.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{(\sqrt{2^{2} \cdot 10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Bước 12.1.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Bước 12.1.4

Nhân $5$ với $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Bước 12.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Bước 12.1.6

Trừ $2$ khỏi $40$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{4 (2)}}$

Bước 12.2.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Bước 12.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{2 \sqrt{2}}$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Bước 12.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 (\sqrt{2})}$

Bước 12.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Bước 12.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Bước 12.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $2 \sqrt{10} - \sqrt{38}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$

Bước 12.5

Nhân $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 12.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Nhân $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 12.6.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 12.6.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 12.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 12.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 12.6.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 12.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 12.6.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 12.6.6.5

Tính số mũ.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2}$

Bước 12.7

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2}$

Bước 12.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 12.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 12.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{1}$

Bước 12.7.2.4

Chia $2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ cho $1$ .

$2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Bước 12.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 (2 \sqrt{10}) + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Bước 12.9

Nhân $2$ với $2$ .

$(4 \sqrt{10} + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Bước 12.10

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Bước 12.11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \sqrt{10} \sqrt{2} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Bước 12.12

Nhân $4 \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.12.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$4 \sqrt{2 \cdot 10} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Bước 12.12.2

Nhân $2$ với $10$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Bước 12.13

Nhân $- 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.13.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2 \cdot 38}$

Bước 12.13.2

Nhân $2$ với $38$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{76}$

Bước 12.14

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.14.1

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.14.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{76}$

Bước 12.14.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{76}$

Bước 12.14.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{76}$

Bước 12.14.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{76}$

Bước 12.14.4

Viết lại $76$ ở dạng $2^{2} \cdot 19$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.14.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $76$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{4 (19)}$

Bước 12.14.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

Bước 12.14.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$8 \sqrt{5} - 2 (2 \sqrt{19})$

Bước 12.14.6

Nhân $2$ với $- 2$ .

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Dạng thập phân:

$0.45294804 \dots$