Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} - x$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$lim_{x \to - 8} \frac{x^{2} + 2 x}{\sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + 2 x}{lim_{x \to - 8} \sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 2 x}{lim_{x \to - 8} \sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 2 x}{lim_{x \to - 8} \sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} \sqrt{1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{lim_{x \to - 8} 1 + x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{lim_{x \to - 8} 1 + lim_{x \to - 8} x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{1 + lim_{x \to - 8} x^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{1 + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 2 lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{1 + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 2 \cdot - 8}{\sqrt{1 + {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 2 \cdot - 8}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} - lim_{x \to - 8} x$

Bước 10.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} + 2 \cdot - 8}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} + 8$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $2$ với $- 8$ .

$\frac{{(- 8)}^{2} - 16}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} + 8$

Bước 11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{64 - 16}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} + 8$

Bước 11.2.1.2

Trừ $16$ khỏi $64$ .

$\frac{48}{\sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}} + 8$

Bước 11.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{48}{\sqrt{1 + 64}} + 8$

Bước 11.2.2.2

Cộng $1$ và $64$ .

$\frac{48}{\sqrt{65}} + 8$

Bước 11.2.3

Nhân $\frac{48}{\sqrt{65}}$ với $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\frac{48}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}} + 8$

Bước 11.2.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Nhân $\frac{48}{\sqrt{65}}$ với $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}} + 8$

Bước 11.2.4.2

Nâng $\sqrt{65}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} \sqrt{65}} + 8$

Bước 11.2.4.3

Nâng $\sqrt{65}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} {\sqrt{65}}^{1}} + 8$

Bước 11.2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{48 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}} + 8$

Bước 11.2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}} + 8$

Bước 11.2.4.6

Viết lại ${\sqrt{65}}^{2}$ ở dạng $65$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{65}$ ở dạng $65^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 8$

Bước 11.2.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 8$

Bước 11.2.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{48 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}} + 8$

Bước 11.2.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{48 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}} + 8$

Bước 11.2.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{48 \sqrt{65}}{65^{1}} + 8$

Bước 11.2.4.6.5

Tính số mũ.

$\frac{48 \sqrt{65}}{65} + 8$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{48 \sqrt{65}}{65} + 8$

Dạng thập phân:

$13.95366726 \dots$