Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})$

Bước 1

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{\frac{1}{x}})$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(x)}^{\frac{1}{x}}$ ở dạng $e^{\ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})})$

Bước 2.2

Khai triển $\ln ({(x)}^{\frac{1}{x}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} \ln (x)})$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \ln (x)})$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\ln (e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Bước 3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\ln (e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Bước 3.5

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\ln (e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\ln (e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\ln (e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (8)})$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $\frac{1}{8} \cdot \ln (8)$ ra khỏi số mũ.

$\frac{1}{8} \cdot \ln (8) \ln (e)$

Bước 5.2

Rút gọn $\frac{1}{8} \ln (8)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{8}$ trong logarit.

$\ln (8^{\frac{1}{8}}) \ln (e)$

Bước 5.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (8^{\frac{1}{8}}) \cdot 1$

Bước 5.4

Nhân $\ln (8^{\frac{1}{8}})$ với $1$ .

$\ln (8^{\frac{1}{8}})$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (8^{\frac{1}{8}})$

Dạng thập phân:

$0.25993019 \dots$