Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} - 16}{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $16$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 9

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 10

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 11

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Bước 12

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 16}}$

Bước 13

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Bước 14

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Bước 15

Tính giới hạn của $16$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Bước 16

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Bước 16.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Bước 16.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Bước 16.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.1.2

Nhân $4$ với $64$ .

$\frac{256 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.1.3

Nhân $- 1$ với $16$ .

$\frac{256 - 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.1.4

Trừ $16$ khỏi $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.2.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 64} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.2.3

Nhân $4$ với $64$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 256} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.2.4

Cộng $4096$ và $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{4352} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.2.5

Viết lại $4352$ ở dạng $16^{2} \cdot 17$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.5.1

Đưa $256$ ra ngoài $4352$ .

$\frac{240}{\sqrt{256 (17)} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.2.5.2

Viết lại $256$ ở dạng $16^{2}$ .

$\frac{240}{\sqrt{16^{2} \cdot 17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.2.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Bước 17.2.7

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4096 + 16}}$

Bước 17.2.8

Cộng $4096$ và $16$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4112}}$

Bước 17.2.9

Viết lại $4112$ ở dạng $4^{2} \cdot 257$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.9.1

Đưa $16$ ra ngoài $4112$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{16 (257)}}$

Bước 17.2.9.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} \cdot 257}}$

Bước 17.2.10

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - (4 \sqrt{257})}$

Bước 17.2.11

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Bước 17.3

Triệt tiêu thừa số chung của $240$ và $16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $240$ .

$\frac{4 (60)}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Bước 17.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16 \sqrt{17}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) - 4 \sqrt{257}}$

Bước 17.3.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sqrt{257}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})}$

Bước 17.3.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Bước 17.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Bước 17.3.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$

Bước 17.4

Nhân $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ với $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}} \cdot \frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$

Bước 17.5

Nhân $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ với $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{(4 \sqrt{17} - \sqrt{257}) (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}$

Bước 17.6

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{16 {\sqrt{17}}^{2} + 4 \sqrt{4369} - 4 \sqrt{4369} - {\sqrt{257}}^{2}}$

Bước 17.7

Rút gọn.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{15}$

Bước 17.8

Triệt tiêu thừa số chung của $60$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.8.1

Đưa $15$ ra ngoài $60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15}$

Bước 17.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.8.2.1

Đưa $15$ ra ngoài $15$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 (1)}$

Bước 17.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 \cdot 1}$

Bước 17.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{1}$

Bước 17.8.2.4

Chia $4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ cho $1$ .

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$

Bước 17.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 \sqrt{257}$

Bước 17.10

Nhân $4$ với $4$ .

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Bước 18

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Dạng thập phân:

$130.09456817 \dots$