Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{{(5 - x)}^{2}}}{5 - x}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt{{(5 - x)}^{2}}}{lim_{x \to 5} 5 - x}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} {(5 - x)}^{2}}}{lim_{x \to 5} 5 - x}$

Bước 1.1.2.2

Đưa số mũ $2$ từ ${(5 - x)}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 5} 5 - x)}^{2}}}{lim_{x \to 5} 5 - x}$

Bước 1.1.2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $5$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 5} 5 - lim_{x \to 5} x)}^{2}}}{lim_{x \to 5} 5 - x}$

Bước 1.1.2.4

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $5$ .

$\frac{\sqrt{{(5 - lim_{x \to 5} x)}^{2}}}{lim_{x \to 5} 5 - x}$

Bước 1.1.2.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $5$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{{(5 - 5)}^{2}}}{lim_{x \to 5} 5 - x}$

Bước 1.1.2.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.2.1

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 5} 5 - x}$

Bước 1.1.2.5.2.2

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 5 - x}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 5 - lim_{x \to 5} x}$

Bước 1.1.3.2

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $5$ .

$\frac{0}{5 - lim_{x \to 5} x}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $5$ cho $x$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Bước 1.1.3.3.2

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{{(5 - x)}^{2}}}{5 - x} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{{(5 - x)}^{2}}]}{\frac{d}{d x} [5 - x]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{{(5 - x)}^{2}}]}{\frac{d}{d x} [5 - x]}$

Bước 1.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5 - x]}{\frac{d}{d x} [5 - x]}$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [5 - x]}$

Bước 1.3.4

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [5 - x]}$

Bước 1.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [5 - x]}$

Bước 1.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - x]}$

Bước 1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [5 - x]}$

Bước 1.3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [5 - x]}$

Bước 1.3.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Bước 1.3.10

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Bước 1.3.11

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.11.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 1.3.11.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- 1}{0 - 1 \cdot 1}$

Bước 1.3.11.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- 1}{0 - 1}$

Bước 1.3.12

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$lim_{x \to 5} \frac{1}{1}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 5} \frac{1}{1}$

Bước 1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 5} 1$

Bước 2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $5$ .

$1$