Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{5 x^{2} - 4}{\sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 2}}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + 2}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + lim_{x \to 8} 2}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 2}}$

Bước 9

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 2}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{5 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{5 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{5 \cdot 64 - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Bước 12.1.2

Nhân $5$ với $64$ .

$\frac{320 - 1 \cdot 4}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Bước 12.1.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{320 - 4}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Bước 12.1.4

Trừ $4$ khỏi $320$ .

$\frac{316}{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 2}}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{316}{\sqrt{4 \cdot 4096 + 2}}$

Bước 12.2.2

Nhân $4$ với $4096$ .

$\frac{316}{\sqrt{16384 + 2}}$

Bước 12.2.3

Cộng $16384$ và $2$ .

$\frac{316}{\sqrt{16386}}$

Bước 12.3

Nhân $\frac{316}{\sqrt{16386}}$ với $\frac{\sqrt{16386}}{\sqrt{16386}}$ .

$\frac{316}{\sqrt{16386}} \cdot \frac{\sqrt{16386}}{\sqrt{16386}}$

Bước 12.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân $\frac{316}{\sqrt{16386}}$ với $\frac{\sqrt{16386}}{\sqrt{16386}}$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{\sqrt{16386} \sqrt{16386}}$

Bước 12.4.2

Nâng $\sqrt{16386}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{\sqrt{16386}}^{1} \sqrt{16386}}$

Bước 12.4.3

Nâng $\sqrt{16386}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{\sqrt{16386}}^{1} {\sqrt{16386}}^{1}}$

Bước 12.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{\sqrt{16386}}^{1 + 1}}$

Bước 12.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{\sqrt{16386}}^{2}}$

Bước 12.4.6

Viết lại ${\sqrt{16386}}^{2}$ ở dạng $16386$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{16386}$ ở dạng $16386^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{{(16386^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 12.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 12.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386^{1}}$

Bước 12.4.6.5

Tính số mũ.

$\frac{316 \sqrt{16386}}{16386}$

Bước 12.5

Triệt tiêu thừa số chung của $316$ và $16386$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $316 \sqrt{16386}$ .

$\frac{2 (158 \sqrt{16386})}{16386}$

Bước 12.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16386$ .

$\frac{2 (158 \sqrt{16386})}{2 (8193)}$

Bước 12.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (158 \sqrt{16386})}{2 \cdot 8193}$

Bước 12.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{158 \sqrt{16386}}{8193}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{158 \sqrt{16386}}{8193}$

Dạng thập phân:

$2.46859933 \dots$