Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{6 x - 21 x^{3} + 11}{\sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x - 21 x^{3} + 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 21 x^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $6$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 21 x^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $21$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Bước 5

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Bước 6

Tính giới hạn của $11$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}$

Bước 8

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}$

Bước 9

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}$

Bước 10

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{8} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Bước 11.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân $6$ với $8$ .

$\frac{48 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Bước 12.1.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{48 - 21 \cdot 512 + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Bước 12.1.3

Nhân $- 21$ với $512$ .

$\frac{48 - 10752 + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Bước 12.1.4

Trừ $10752$ khỏi $48$ .

$\frac{- 10704 + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Bước 12.1.5

Cộng $- 10704$ và $11$ .

$\frac{- 10693}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{- 10693}{\sqrt{4 (2)} + 3 \cdot 8^{3}}$

Bước 12.2.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{- 10693}{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8^{3}}$

Bước 12.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{- 10693}{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 8^{3}}$

Bước 12.2.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{- 10693}{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 512}$

Bước 12.2.4

Nhân $3$ với $512$ .

$\frac{- 10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$

Bước 12.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$

Bước 12.4

Nhân $\frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$ với $\frac{2 \sqrt{2} - 1536}{2 \sqrt{2} - 1536}$ .

$- (\frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536} \cdot \frac{2 \sqrt{2} - 1536}{2 \sqrt{2} - 1536})$

Bước 12.5

Nhân $\frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$ với $\frac{2 \sqrt{2} - 1536}{2 \sqrt{2} - 1536}$ .

$- \frac{10693 (2 \sqrt{2} - 1536)}{(2 \sqrt{2} + 1536) (2 \sqrt{2} - 1536)}$

Bước 12.6

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$- \frac{10693 (2 \sqrt{2} - 1536)}{4 {\sqrt{2}}^{2} - 3072 \sqrt{2} + 3072 \sqrt{2} - 2359296}$

Bước 12.7

Rút gọn.

$- \frac{10693 (2 \sqrt{2} - 1536)}{- 2359288}$

Bước 12.8

Triệt tiêu thừa số chung của $2 \sqrt{2} - 1536$ và $- 2359288$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $10693 (2 \sqrt{2} - 1536)$ .

$- \frac{2 (10693 (\sqrt{2} - 768))}{- 2359288}$

Bước 12.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2359288$ .

$- \frac{2 (10693 (\sqrt{2} - 768))}{2 (- 1179644)}$

Bước 12.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 (10693 (\sqrt{2} - 768))}{2 \cdot - 1179644}$

Bước 12.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{- 1179644}$

Bước 12.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Bước 12.10

Nhân $- - \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Bước 12.10.2

Nhân $\frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$ với $1$ .

$\frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Dạng thập phân:

$- 6.94879286 \dots$