Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 8} \frac{3 x + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 3 x + 5}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} + 4}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 3 x + lim_{x \to - 8} 5}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} + 4}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 5}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} + 4}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + 5}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} + 4}}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + 5}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} + 4}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + 5}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 4}}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + 5}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 4}}$

Bước 8

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 8} x + 5}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 4}}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{3 \cdot - 8 + 5}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 4}}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{3 \cdot - 8 + 5}{\sqrt{{(- 8)}^{2} + 4}}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $3$ với $- 8$ .

$\frac{- 24 + 5}{\sqrt{{(- 8)}^{2} + 4}}$

Bước 10.1.2

Cộng $- 24$ và $5$ .

$\frac{- 19}{\sqrt{{(- 8)}^{2} + 4}}$

Bước 10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 19}{\sqrt{64 + 4}}$

Bước 10.2.2

Cộng $64$ và $4$ .

$\frac{- 19}{\sqrt{68}}$

Bước 10.2.3

Viết lại $68$ ở dạng $2^{2} \cdot 17$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $68$ .

$\frac{- 19}{\sqrt{4 (17)}}$

Bước 10.2.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{- 19}{\sqrt{2^{2} \cdot 17}}$

Bước 10.2.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{- 19}{2 \sqrt{17}}$

Bước 10.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{19}{2 \sqrt{17}}$

Bước 10.4

Nhân $\frac{19}{2 \sqrt{17}}$ với $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$- (\frac{19}{2 \sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Bước 10.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Nhân $\frac{19}{2 \sqrt{17}}$ với $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 \sqrt{17} \sqrt{17}}$

Bước 10.5.2

Di chuyển $\sqrt{17}$ .

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 (\sqrt{17} \sqrt{17})}$

Bước 10.5.3

Nâng $\sqrt{17}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 ({\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17})}$

Bước 10.5.4

Nâng $\sqrt{17}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 ({\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1})}$

Bước 10.5.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 {\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Bước 10.5.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 {\sqrt{17}}^{2}}$

Bước 10.5.7

Viết lại ${\sqrt{17}}^{2}$ ở dạng $17$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{17}$ ở dạng $17^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 10.5.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 10.5.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.5.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.5.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 \cdot 17^{1}}$

Bước 10.5.7.5

Tính số mũ.

$- \frac{19 \sqrt{17}}{2 \cdot 17}$

Bước 10.6

Nhân $2$ với $17$ .

$- \frac{19 \sqrt{17}}{34}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{19 \sqrt{17}}{34}$

Dạng thập phân:

$- 2.30408843 \dots$