Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} - 3 x + 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{- lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x}}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{- 3 lim_{x \to 8} x + 1}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + x}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to 8} x + 1}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x}}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{- 3 lim_{x \to 8} x + 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x}}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 8 + 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x}}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 8 + 1}{\sqrt{8^{2} + lim_{x \to 8} x}}$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 8 + 1}{\sqrt{8^{2} + 8}}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $- 3$ với $8$ .

$\frac{- 24 + 1}{\sqrt{8^{2} + 8}}$

Bước 9.1.2

Cộng $- 24$ và $1$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{8^{2} + 8}}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{64 + 8}}$

Bước 9.2.2

Cộng $64$ và $8$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{72}}$

Bước 9.2.3

Viết lại $72$ ở dạng $6^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Đưa $36$ ra ngoài $72$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{36 (2)}}$

Bước 9.2.3.2

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$\frac{- 23}{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}$

Bước 9.2.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{- 23}{6 \sqrt{2}}$

Bước 9.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{23}{6 \sqrt{2}}$

Bước 9.4

Nhân $\frac{23}{6 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{23}{6 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Bước 9.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Nhân $\frac{23}{6 \sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 9.5.2

Di chuyển $\sqrt{2}$ .

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Bước 9.5.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Bước 9.5.4

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Bước 9.5.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 9.5.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 9.5.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.5.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.5.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.5.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.5.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 \cdot 2^{1}}$

Bước 9.5.7.5

Tính số mũ.

$- \frac{23 \sqrt{2}}{6 \cdot 2}$

Bước 9.6

Nhân $6$ với $2$ .

$- \frac{23 \sqrt{2}}{12}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{23 \sqrt{2}}{12}$

Dạng thập phân:

$- 2.71057599 \dots$