Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 8} \frac{4 e^{x} - e^{- x}}{e^{x} - 5 e^{- x}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Bước 4

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Bước 5

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{lim_{x \to - 8} - x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

Bước 8

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

Bước 9

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 lim_{x \to - 8} e^{- x}}$

Bước 10

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{lim_{x \to - 8} - x}}$

Bước 11

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Bước 12.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Bước 12.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Viết lại $4 e^{- 8}$ ở dạng ${(2 e^{- 4})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.2

Viết lại $e^{8}$ ở dạng ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - {(e^{4})}^{2}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 e^{- 4}$ và $b = e^{4}$ .

$\frac{(2 e^{- 4} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 \frac{1}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 \frac{1}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.4.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.5

Để viết $e^{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + \frac{e^{4} e^{4}}{e^{4}}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 + e^{4} e^{4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.7

Nhân $e^{4}$ với $e^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.7.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{2 + e^{4 + 4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.7.2

Cộng $4$ và $4$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.8

Để viết $- e^{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4} \cdot \frac{e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.9

Kết hợp $- e^{4}$ và $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} + \frac{- e^{4} e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4} e^{4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.11

Nhân $e^{4}$ với $e^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.11.1

Di chuyển $e^{4}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - (e^{4} e^{4})}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.11.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4 + 4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.1.11.3

Cộng $4$ và $4$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Bước 13.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8}}$

Bước 13.2.2

Để viết $- 5 e^{8}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8} \cdot \frac{e^{8}}{e^{8}}}$

Bước 13.2.3

Kết hợp $- 5 e^{8}$ và $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} + \frac{- 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

Bước 13.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

Bước 13.2.5

Nhân $e^{8}$ với $e^{8}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.1

Di chuyển $e^{8}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 (e^{8} e^{8})}{e^{8}}}$

Bước 13.2.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8 + 8}}{e^{8}}}$

Bước 13.2.5.3

Cộng $8$ và $8$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Bước 13.3

Nhân $\frac{2 + e^{8}}{e^{4}}$ với $\frac{2 - e^{8}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4} e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Bước 13.4

Nhân $e^{4}$ với $e^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4 + 4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Bước 13.4.2

Cộng $4$ và $4$ .

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Bước 13.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.6

Triệt tiêu thừa số chung $e^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.6.2

Viết lại biểu thức.

$(2 + e^{8}) (2 - e^{8}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.7

Khai triển $(2 + e^{8}) (2 - e^{8})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 (2 - e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.8.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$(4 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(4 - 2 e^{8} + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{8}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 \cdot e^{8} + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8.1.4

Nhân $e^{8}$ với $e^{8}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.8.1.4.1

Di chuyển $e^{8}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8} e^{8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8.1.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8 + 8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8.1.4.3

Cộng $8$ và $8$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{16} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8.1.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{16}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - 1 \cdot e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8.1.6

Viết lại $- 1 e^{16}$ ở dạng $- e^{16}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8.2

Cộng $- 2 e^{8}$ và $2 e^{8}$ .

$(4 + 0 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.8.3

Cộng $4$ và $0$ .

$(4 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \frac{1}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.10

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ .

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.11

Kết hợp $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ và $e^{16}$ .

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - \frac{e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.13.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.13.2

Viết lại $e^{16}$ ở dạng ${(e^{8})}^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(e^{8})}^{2}}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 13.13.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2$ và $b = e^{8}$ .

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

Dạng thập phân:

$0.19999991 \dots$