Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{\sin (x) + 2}}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $x^{\sin (x) + 2}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}}$

Bước 2.2

Khai triển $\ln (x^{\sin (x) + 2})$ bằng cách di chuyển $\sin (x) + 2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{(\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} (\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} \sin (x) + 2 \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1}{e^{(lim_{x \to 8} \sin (x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Bước 3.4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Bước 3.5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Bước 3.6

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (8)}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính $\sin (8)$ .

$\frac{1}{e^{(0.1391731 + 2) \cdot \ln (8)}}$

Bước 5.1.2

Cộng $0.1391731$ và $2$ .

$\frac{1}{e^{2.1391731 \cdot \ln (8)}}$

Bước 5.1.3

Rút gọn $2.1391731 \cdot \ln (8)$ bằng cách di chuyển $2.1391731$ trong logarit.

$\frac{1}{e^{\ln (8^{2.1391731})}}$

Bước 5.1.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{8^{2.1391731}}$

Bước 5.1.5

Nâng $8$ lên lũy thừa $2.1391731$ .

$\frac{1}{85.48025477}$

Bước 5.2

Chia $1$ cho $85.48025477$ .

$0.0116986$