Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{4 - (\frac{16}{x})}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Bước 3

Đưa số mũ $\frac{2}{3}$ từ $x^{\frac{2}{3}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Bước 4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - (\frac{16}{x})}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

Bước 7

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - lim_{x \to 8} \frac{16}{x}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $16$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{8^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{3 (\frac{2}{3})} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2^{2} + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{8}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12.1.5

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{4 (2)}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12.1.5.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12.1.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{4 + 3 (2 \sqrt{2})}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12.1.7

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 16 (\frac{1}{8})}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 16$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 (- 2) \frac{1}{8}}$

Bước 12.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 + 8 \cdot - 2 \frac{1}{8}}$

Bước 12.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{4 - 2}$

Bước 12.2.2

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\frac{4 + 6 \sqrt{2}}{2}$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4 + 6 \sqrt{2}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 6 \sqrt{2}}{2}$

Bước 12.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Bước 12.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2) + 2 (3 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2}$

Bước 12.3.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 12.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 + 3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 12.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + 3 \sqrt{2}}{1}$

Bước 12.3.4.4

Chia $2 + 3 \sqrt{2}$ cho $1$ .

$2 + 3 \sqrt{2}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 + 3 \sqrt{2}$

Dạng thập phân:

$6.24264068 \dots$