Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{t} - t^{2}}{9 t + t^{2}}$

Bước 1

Tính giới hạn của $\frac{\sqrt{t} - t^{2}}{9 t + t^{2}}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{t} - t^{2}}{9 t + t^{2}}$

Bước 2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - t^{2}}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.2

Đưa $t^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $t^{\frac{1}{2}} - t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t^{2}}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.2.2

Đưa $t^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $- t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{3}{2}})}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.2.3

Đưa $t^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- t^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{\frac{3}{2}})}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} - t^{\frac{3}{2}})}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.4

Viết lại $t^{\frac{3}{2}}$ ở dạng ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} - {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.5

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 1$ và $b = t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 - t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} + 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.6.2

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.6.3

Nhân các số mũ trong ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.6.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.6.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.1.6.4

Rút gọn.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t))}{9 t + t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{9 t + t^{2}}$

Bước 2.2

Đưa $t$ ra ngoài $9 t + t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $9 t$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 9 + t^{2}}$

Bước 2.2.2

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 9 + t \cdot t}$

Bước 2.2.3

Đưa $t$ ra ngoài $t \cdot 9 + t \cdot t$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (9 + t)}$

Bước 2.3

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (9 + t) t^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 2.4

Nhân $t$ với $t^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (9 + t)}$

Bước 2.4.2

Nhân $t^{- \frac{1}{2}}$ với $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (9 + t)}$

Bước 2.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (9 + t)}$

Bước 2.4.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{(1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (9 + t)}$

Bước 2.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (9 + t)}$

Bước 2.4.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{(1 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (9 + t)}$