Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 64}}{3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Bước 4

Đưa số mũ $6$ từ $x^{6}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $64$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Bước 7

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + 16}}$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Bước 11

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Bước 12

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Bước 13

Tính giới hạn của $16$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Bước 14

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Bước 14.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Bước 14.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Bước 15

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{262144 + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Bước 15.1.2

Cộng $262144$ và $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{262208}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Bước 15.1.3

Viết lại $262208$ ở dạng $4^{3} \cdot 4097$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.1

Đưa $64$ ra ngoài $262208$ .

$\frac{\sqrt[3]{64 (4097)}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Bước 15.1.3.2

Viết lại $64$ ở dạng $4^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Bước 15.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Bước 15.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 \cdot 64 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Bước 15.2.2

Nhân $3$ với $64$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Bước 15.2.3

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 \cdot 4096 + 16}}$

Bước 15.2.4

Nhân $2$ với $4096$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8192 + 16}}$

Bước 15.2.5

Cộng $8192$ và $16$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8208}}$

Bước 15.2.6

Viết lại $8208$ ở dạng $12^{2} \cdot 57$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.6.1

Đưa $144$ ra ngoài $8208$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{144 (57)}}$

Bước 15.2.6.2

Viết lại $144$ ở dạng $12^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{12^{2} \cdot 57}}$

Bước 15.2.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Bước 15.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $192 + 12 \sqrt{57}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sqrt[3]{4097}$ .

$\frac{4 (\sqrt[3]{4097})}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Bước 15.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $192$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 12 \sqrt{57}}$

Bước 15.3.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $12 \sqrt{57}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 4 (3 \sqrt{57})}$

Bước 15.3.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (48) + 4 (3 \sqrt{57})$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Bước 15.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Bước 15.3.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$

Bước 15.4

Nhân $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ với $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$

Bước 15.5

Nhân $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ với $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{(48 + 3 \sqrt{57}) (48 - 3 \sqrt{57})}$

Bước 15.6

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{2304 - 144 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Bước 15.7

Rút gọn.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{1791}$

Bước 15.8

Triệt tiêu thừa số chung của $48 - 3 \sqrt{57}$ và $1791$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})$ .

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{1791}$

Bước 15.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $1791$ .

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 (597)}$

Bước 15.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 \cdot 597}$

Bước 15.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Dạng thập phân:

$0.22648852 \dots$