Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} 729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Bước 1

Tính giới hạn của $729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Bước 2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $n$ ra ngoài $2 n^{3} + 3 n^{2} + n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1

Đưa $n$ ra ngoài $2 n^{3}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.1.2

Đưa $n$ ra ngoài $3 n^{2}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.1.3

Nâng $n$ lên lũy thừa $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n^{1}}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.1.4

Đưa $n$ ra ngoài $n^{1}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.1.5

Đưa $n$ ra ngoài $n (2 n^{2}) + n (3 n)$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.1.6

Đưa $n$ ra ngoài $n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ và có tổng là $b = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 n$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 (n) + 1)}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.2.1.2

Viết lại $3$ ở dạng $1$ cộng $2$

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + (1 + 2) n + 1)}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 1 n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.2.1.4

Nhân $n$ với $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$729 - 729 \frac{n ((2 n^{2} + n) + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$729 - 729 \frac{n (n (2 n + 1) + 1 (2 n + 1))}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.1.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 n + 1$ .

$729 - 729 \frac{n ((2 n + 1) (n + 1))}{6 n^{3}}$

$729 - 729 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 729$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Bước 2.1.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $6 n^{3}$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Bước 2.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$729 + 3 \cdot - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Bước 2.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$729 - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$

Bước 2.1.3

Kết hợp $- 243$ và $\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$ .

$729 + \frac{- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{3}}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $n$ và $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $n$ ra ngoài $- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{2 n^{3}}$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $n$ ra ngoài $2 n^{3}$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$729 + \frac{- 243 ((2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$729 - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.2

Để viết $729$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$729 \cdot \frac{2 n^{2}}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.3

Kết hợp $729$ và $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$\frac{729 (2 n^{2})}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{729 (2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $243$ ra ngoài $729 \cdot 2 n^{2} - 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Đưa $243$ ra ngoài $729 \cdot 2 n^{2}$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.1.2

Đưa $243$ ra ngoài $- 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.1.3

Đưa $243$ ra ngoài $243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{243 (6 n^{2} + (- (2 n) - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.6

Khai triển $(- 2 n - 1) (n + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n (n + 1) - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1.1

Nhân $n$ với $n$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1.1.1

Di chuyển $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.7.1.1.2

Nhân $n$ với $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.7.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.7.1.3

Viết lại $- 1 n$ ở dạng $- n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.7.2

Trừ $n$ khỏi $- 2 n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.8

Trừ $2 n^{2}$ khỏi $6 n^{2}$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.9

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.9.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ và có tổng là $b = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.9.1.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 n$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 (n) - 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.9.1.2

Viết lại $- 3$ ở dạng $1$ cộng $- 4$

$\frac{243 (4 n^{2} + (1 - 4) n - 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.9.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{243 (4 n^{2} + 1 n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.9.1.4

Nhân $n$ với $1$ .

$\frac{243 (4 n^{2} + n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.9.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.9.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{243 ((4 n^{2} + n) - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.9.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{243 (n (4 n + 1) - (4 n + 1))}{2 n^{2}}$

Bước 2.5.9.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $4 n + 1$ .

$\frac{243 ((4 n + 1) (n - 1))}{2 n^{2}}$

$\frac{243 (4 n + 1) (n - 1)}{2 n^{2}}$