Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Bước 1.2

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(x + 1)}^{x}$ ở dạng $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Bước 2.2

Khai triển $\ln ({(x + 1)}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Bước 3.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Bước 3.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Bước 3.6

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

Bước 4

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(x)}^{x}$ ở dạng $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

Bước 4.2

Khai triển $\ln ({(x)}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

Bước 5.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Bước 5.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Bước 6.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Bước 6.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

Bước 7.2

Di chuyển $e^{8 \cdot \ln (8)}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

Bước 7.3

Nhân $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ với $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

Bước 7.3.2

Cộng $8$ và $1$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

Bước 7.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Rút gọn $8 \ln (9)$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

Bước 7.3.3.2

Nâng $9$ lên lũy thừa $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

Bước 7.3.3.3

Rút gọn $- 8 \ln (8)$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

Bước 7.3.3.4

Nâng $8$ lên lũy thừa $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

Bước 7.3.4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

Bước 7.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ ra khỏi số mũ.

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

Bước 7.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

Bước 7.6

Nhân $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ với $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Dạng thập phân:

$0.94226428 \dots$