Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{- 8 x - 9}{\sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} - 8 x - 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{- lim_{x \to 8} 8 x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $9$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 9 x + 5}}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 9 x + 5}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{\sqrt{8^{2} + 9 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 8 - 1 \cdot 9}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $- 8$ với $8$ .

$\frac{- 64 - 1 \cdot 9}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Bước 11.1.2

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\frac{- 64 - 9}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Bước 11.1.3

Trừ $9$ khỏi $- 64$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{8^{2} + 9 \cdot 8 + 5}}$

Bước 11.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{64 + 9 \cdot 8 + 5}}$

Bước 11.2.2

Nhân $9$ với $8$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{64 + 72 + 5}}$

Bước 11.2.3

Cộng $64$ và $72$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{136 + 5}}$

Bước 11.2.4

Cộng $136$ và $5$ .

$\frac{- 73}{\sqrt{141}}$

Bước 11.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{73}{\sqrt{141}}$

Bước 11.4

Nhân $\frac{73}{\sqrt{141}}$ với $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{141}}$ .

$- (\frac{73}{\sqrt{141}} \cdot \frac{\sqrt{141}}{\sqrt{141}})$

Bước 11.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Nhân $\frac{73}{\sqrt{141}}$ với $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{141}}$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{\sqrt{141} \sqrt{141}}$

Bước 11.5.2

Nâng $\sqrt{141}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{1} \sqrt{141}}$

Bước 11.5.3

Nâng $\sqrt{141}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{1} {\sqrt{141}}^{1}}$

Bước 11.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{1 + 1}}$

Bước 11.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{\sqrt{141}}^{2}}$

Bước 11.5.6

Viết lại ${\sqrt{141}}^{2}$ ở dạng $141$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{141}$ ở dạng $141^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{{(141^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 11.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 11.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{\frac{2}{2}}}$

Bước 11.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{\frac{2}{2}}}$

Bước 11.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141^{1}}$

Bước 11.5.6.5

Tính số mũ.

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{73 \sqrt{141}}{141}$

Dạng thập phân:

$- 6.14770902 \dots$