Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{(x - 2) (2 x - 3)}{(3 x + 2) (4 x - 1)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (x - 2) (2 x - 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - 2 \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Bước 4

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Bước 6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Bước 7

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} 3 x + 2 \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Bước 10

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Bước 11

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Bước 12

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (lim_{x \to 8} 4 x - lim_{x \to 8} 1)}$

Bước 13

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1)}$

Bước 14

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Bước 15

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Bước 15.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Bước 15.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Bước 15.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8 - 1 \cdot 2$ và $3 \cdot 8 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $- 1 (- 8)$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 (2)) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- 8) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

Bước 16.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

Bước 16.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.2.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 3 (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.2.3

Trừ $3$ khỏi $16$ .

$\frac{- 1 \cdot - 3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.2.4

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.4.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.2.4.2

Nhân $3$ với $13$ .

$\frac{39}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{39}{(12 + 1) (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.3.2

Cộng $12$ và $1$ .

$\frac{39}{13 (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.3.3

Nhân $4$ với $8$ .

$\frac{39}{13 (32 - 1 \cdot 1)}$

Bước 16.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{39}{13 (32 - 1)}$

Bước 16.3.5

Trừ $1$ khỏi $32$ .

$\frac{39}{13 \cdot 31}$

Bước 16.4

Nhân $13$ với $31$ .

$\frac{39}{403}$

Bước 16.5

Triệt tiêu thừa số chung của $39$ và $403$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Đưa $13$ ra ngoài $39$ .

$\frac{13 (3)}{403}$

Bước 16.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.2.1

Đưa $13$ ra ngoài $403$ .

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

Bước 16.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

Bước 16.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{31}$

Bước 17

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{31}$

Dạng thập phân:

$0.09677419 \dots$