Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{x + 2}{\sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Bước 3

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + 1}}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $16$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Bước 8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{8 + 2}{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{8 + 2}{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 1}}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $8$ và $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 1}}$

Bước 10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{16 \cdot 64 + 1}}$

Bước 10.2.2

Nhân $16$ với $64$ .

$\frac{10}{\sqrt{1024 + 1}}$

Bước 10.2.3

Cộng $1024$ và $1$ .

$\frac{10}{\sqrt{1025}}$

Bước 10.2.4

Viết lại $1025$ ở dạng $5^{2} \cdot 41$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Đưa $25$ ra ngoài $1025$ .

$\frac{10}{\sqrt{25 (41)}}$

Bước 10.2.4.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{10}{\sqrt{5^{2} \cdot 41}}$

Bước 10.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{10}{5 \sqrt{41}}$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 \sqrt{41}}$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 \sqrt{41}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (\sqrt{41})}$

Bước 10.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \sqrt{41}}$

Bước 10.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{\sqrt{41}}$

Bước 10.4

Nhân $\frac{2}{\sqrt{41}}$ với $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Bước 10.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{41}}$ với $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Bước 10.5.2

Nâng $\sqrt{41}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Bước 10.5.3

Nâng $\sqrt{41}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Bước 10.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Bước 10.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Bước 10.5.6

Viết lại ${\sqrt{41}}^{2}$ ở dạng $41$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{41}$ ở dạng $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 10.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 10.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Bước 10.5.6.5

Tính số mũ.

$\frac{2 \sqrt{41}}{41}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 \sqrt{41}}{41}$

Dạng thập phân:

$0.31234752 \dots$