Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 8} \frac{4 x - 1}{2 \sqrt{x^{2} - 1}}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - 8} \frac{4 x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} 4 x - 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 1}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} 4 x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 1}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 1}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 1}}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - 1}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 1}}$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 1}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot - 8 - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $4$ với $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 32 - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 32 - 1}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.1.3

Trừ $1$ khỏi $- 32$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{64 - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{64 - 1}}$

Bước 11.2.3

Trừ $1$ khỏi $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{63}}$

Bước 11.2.4

Viết lại $63$ ở dạng $3^{2} \cdot 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Đưa $9$ ra ngoài $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{9 (7)}}$

Bước 11.2.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{\sqrt{3^{2} \cdot 7}}$

Bước 11.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 33}{3 \sqrt{7}}$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 33$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 33$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{3 \sqrt{7}}$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{7}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{3 (\sqrt{7})}$

Bước 11.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot - 11}{3 \sqrt{7}}$

Bước 11.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 11}{\sqrt{7}}$

Bước 11.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (- \frac{11}{\sqrt{7}})$

Bước 11.5

Nhân $\frac{11}{\sqrt{7}}$ với $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{11}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))$

Bước 11.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Nhân $\frac{11}{\sqrt{7}}$ với $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Bước 11.6.2

Nâng $\sqrt{7}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})$

Bước 11.6.3

Nâng $\sqrt{7}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})$

Bước 11.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Bước 11.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Bước 11.6.6

Viết lại ${\sqrt{7}}^{2}$ ở dạng $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7}$ ở dạng $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 11.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 11.6.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Bước 11.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Bước 11.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7^{1}})$

Bước 11.6.6.5

Tính số mũ.

$\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7})$

Bước 11.7

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{11 \sqrt{7}}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{11 \sqrt{7}}{7}$ .

$- \frac{11 \sqrt{7}}{2 \cdot 7}$

Bước 11.7.2

Nhân $2$ với $7$ .

$- \frac{11 \sqrt{7}}{14}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{11 \sqrt{7}}{14}$

Dạng thập phân:

$- 2.07880460 \dots$