Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 8} \frac{e^{2} - x^{4}}{31 x - 2 x^{3}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} e^{2} - x^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} e^{2} - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Bước 3

Tính giới hạn của $e^{2}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{e^{2} - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Bước 4

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - 2 x^{3}}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} 31 x - lim_{x \to - 8} 2 x^{3}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $31$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 2 x^{3}}$

Bước 7

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - 2 lim_{x \to - 8} x^{3}}$

Bước 8

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{e^{2} - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - 2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{e^{2} - {(- 8)}^{4}}{31 lim_{x \to - 8} x - 2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{e^{2} - {(- 8)}^{4}}{31 \cdot - 8 - 2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}$

Bước 9.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{e^{2} - {(- 8)}^{4}}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Viết lại ${(- 8)}^{4}$ ở dạng ${({(- 8)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {({(- 8)}^{2})}^{2}}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Bước 10.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e$ và $b = {(- 8)}^{2}$ .

$\frac{(e + {(- 8)}^{2}) (e - {(- 8)}^{2})}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Bước 10.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.3.1

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(e + 64) (e - {(- 8)}^{2})}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Bước 10.1.3.2

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(e + 64) (e - 1 \cdot 64)}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Bước 10.1.3.3

Nhân $- 1$ với $64$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{31 \cdot - 8 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Bước 10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $31$ với $- 8$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{- 248 - 2 {(- 8)}^{3}}$

Bước 10.2.2

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{- 248 - 2 \cdot - 512}$

Bước 10.2.3

Nhân $- 2$ với $- 512$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{- 248 + 1024}$

Bước 10.2.4

Cộng $- 248$ và $1024$ .

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{776}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{(e + 64) (e - 64)}{776}$

Dạng thập phân:

$- 5.26882853 \dots$