Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (3 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Bước 1.2

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Bước 1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Bước 1.4.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ sang $\cot (3 x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $90$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

Bước 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

Bước 2.3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

Bước 3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $90$ cho $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Bước 4

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Bước 5

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Bước 6

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $90$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $- 1.995$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên trái là $- 1.995$ .

$- 1.995$

Bước 7

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Bước 8

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Bước 9

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $90$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $- 1.995$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên phải là $- 1.995$ .

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $3$ với $90$ .

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

Bước 10.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

Bước 10.3

Giá trị chính xác của $\cot (90)$ là $0$ .

$- 1.995 \cdot 0$

Bước 10.4

Nhân $- 1.995$ với $0$ .

$0$