Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\cot (x)}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 1.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 1.4.2

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \tan (x)$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $90$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 90^{-}} \sec (x)$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sec (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 89.9 & - 2.80438537 \\ 89.99 & - 2.27732646 \\ 89.999 & - 2.23623899 \\ 89.9999 & - 2.23222151 \\ 89.99999 & - 2.23182065 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $90$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $- 2.232$ . Cho nên, giới hạn của $\sec (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên trái là $- 2.232$ .

$- 2.232$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 90^{+}} \sec (x)$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sec (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 90.1 & - 1.86885896 \\ 90.01 & - 2.18822675 \\ 90.001 & - 2.22733326 \\ 90.0001 & - 2.23133094 \\ 90.00001 & - 2.2317316 \\ 90.000001 & - 2.23177167 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $90$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $- 2.232$ . Cho nên, giới hạn của $\sec (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên phải là $- 2.232$ .

$- 2.232 \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Bước 9

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Bước 10

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Bước 11

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $90$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $- 1.995$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên trái là $- 1.995$ .

$- 1.995$

Bước 12

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Bước 13

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Bước 14

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $90$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $- 1.995$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (x)$ khi $x$ tiến dần đến $90$ từ phía bên phải là $- 1.995$ .

$- 2.232 \cdot - 1.995$

Bước 15

Nhân $- 2.232$ với $- 1.995$ .

$4.45284$