Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

Bước 1

Đưa số mũ $3$ từ ${(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{x \to \infty} \frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3 x}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

Bước 3.2.2.2

Chia $3$ cho $1$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3}}^{3}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{4}}$ tiến dần đến $0$ .

${(\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Bước 5

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

${(\frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Bước 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{4}}$ tiến dần đến $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Bước 9

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Bước 10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

Bước 11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + 3})}^{3}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0 + 3 \cdot 0$ và $0 + 4 \cdot 0 + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Bước 11.2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

${(\frac{3 (0) + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Bước 11.2.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 \cdot 0$ .

${(\frac{3 (0) + 3 (0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Bước 11.2.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (0) + 3 (0)$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Bước 11.2.1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

Bước 11.2.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $0 \cdot 4$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 3 (0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

Bước 11.2.1.5.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (0) + 3 (0 \cdot 4)$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

Bước 11.2.1.5.4

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1})}^{3}$

Bước 11.2.1.5.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

Bước 11.2.1.5.6

Triệt tiêu thừa số chung.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

Bước 11.2.1.5.7

Viết lại biểu thức.

${(\frac{0 + 0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

Bước 11.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

${(\frac{0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

Bước 11.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Nhân $0$ với $4$ .

${(\frac{0}{0 + 0 + 1})}^{3}$

Bước 11.2.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

${(\frac{0}{0 + 1})}^{3}$

Bước 11.2.3.3

Cộng $0$ và $1$ .

${(\frac{0}{1})}^{3}$

Bước 11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$0^{3}$

Bước 11.2.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0$