Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Bước 1.2

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Bước 1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 1.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\cos (π \frac{1}{8})$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{8}$ .

$\cos (\frac{π}{8})$

Bước 3.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{8})$ là $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Bước 3.2.2

Áp dụng đẳng thức góc chia đôi của cosin $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Bước 3.2.3

Thay đổi $+$ thành $\pm$ vì cosin dương trong góc phần tư thứ nhất.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Bước 3.2.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 3.2.5

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 3.2.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 3.2.5.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.5.4

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.4.1

Nhân $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 3.2.5.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Bước 3.2.5.5

Viết lại $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Bước 3.2.5.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 3.2.5.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Dạng thập phân:

$0.92387953 \dots$