Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

Bước 1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Bước 3.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.4

Sắp xếp lại $x$ và $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.8.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.8.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.8.3

Cộng $- 1 x$ và $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.8.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.9

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Bước 4.1.3

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Bước 4.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Bước 4.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.7

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.11

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.12

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.13

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.14

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.15

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Bước 4.3.16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Bước 4.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Bước 4.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{1}{1}$

Bước 5.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$1$