Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} x - \frac{x (\sqrt{x})}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \frac{x (\sqrt{x})}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x (\sqrt{x})}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + 3 x - 5}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Bước 6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Bước 7

Đưa số mũ $\frac{3}{2}$ từ $x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 5}$

Bước 8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

Bước 9

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$8 - \frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$8 - \frac{8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$8 - \frac{8 \cdot \sqrt{8}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Bước 10.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$8 - \frac{8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Bước 10.5

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$8 - \frac{8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$8 - \frac{8 \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$8 - \frac{8 \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.1.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$8 - \frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$8 - \frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$8 - \frac{8 \cdot 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.1.3

Nhân $8$ với $2$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1

Nhân $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2.1.2.2

Nhân $3 (\frac{3}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.2.1.2.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{2}$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2.1.2.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{1 + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{2 + 9}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2.1.6

Cộng $2$ và $9$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2.2

Nhân $3$ với $8$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 1 \cdot 5}$

Bước 11.1.2.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 24 - 5}$

Bước 11.1.2.4

Trừ $5$ khỏi $24$ .

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$8 - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.2

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2^{\frac{11}{2}} + 19}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$ .

$\frac{8 (2^{\frac{11}{2}} + 19)}{2^{\frac{11}{2}} + 19} - \frac{16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 (2^{\frac{11}{2}} + 19) - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 \cdot 2^{\frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.4.2

Nhân $8 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{2^{3} \cdot 2^{\frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2^{3 + \frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.4.2.3

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.4.2.4

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.4.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{3 \cdot 2 + 11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.4.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.2.6.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2^{\frac{6 + 11}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.4.2.6.2

Cộng $6$ và $11$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 8 \cdot 19 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 11.4.3

Nhân $8$ với $19$ .

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 152 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 152 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 152 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2^{\frac{17}{2}} + 152 - 16 \sqrt{2}}{2^{\frac{11}{2}} + 19}$

Dạng thập phân:

$7.64784879 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$