Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 8} \frac{80}{e^{x} - 1}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chuyển số hạng $80$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$80 lim_{x \to - 8} \frac{1}{e^{x} - 1}$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$80 \frac{lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Bước 1.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Bước 1.5

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Bước 1.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 1 \cdot 1}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$80 \frac{1}{e^{- 8} - 1 \cdot 1}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại $e^{- 8}$ ở dạng ${(e^{- 4})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1^{2}}$

Bước 3.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e^{- 4}$ và $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(e^{- 4} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Bước 3.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Bước 3.1.4.2

Viết lại $e^{- 4}$ ở dạng ${(e^{- 2})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1)}$

Bước 3.1.4.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1^{2})}$

Bước 3.1.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e^{- 2}$ và $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((e^{- 2} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Bước 3.1.4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Bước 3.1.4.5.2

Viết lại $e^{- 2}$ ở dạng ${(e^{- 1})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1))}$

Bước 3.1.4.5.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1^{2}))}$

Bước 3.1.4.5.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e^{- 1}$ và $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((e^{- 1} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Bước 3.1.4.5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.5.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Bước 3.1.4.5.5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Bước 3.1.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + \frac{e^{4}}{e^{4}}) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Bước 3.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Bước 3.1.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + \frac{e^{2}}{e^{2}}) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Bước 3.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Bước 3.1.9

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + \frac{e}{e}) (\frac{1}{e} - 1)}$

Bước 3.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1)}$

Bước 3.1.11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1 \cdot \frac{e}{e})}$

Bước 3.1.12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} + \frac{- e}{e})}$

Bước 3.1.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Bước 3.1.14

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.14.1

Nhân $\frac{1 + e^{4}}{e^{4}}$ với $\frac{1 + e^{2}}{e^{2}}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4} e^{2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Bước 3.1.14.2

Nhân $e^{4}$ với $e^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.14.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4 + 2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Bước 3.1.14.2.2

Cộng $4$ và $2$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Bước 3.1.14.3

Nhân $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}}$ với $\frac{1 + e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Bước 3.1.14.4

Nhân $e^{6}$ với $e$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.14.4.1

Nhân $e^{6}$ với $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.14.4.1.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e^{1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Bước 3.1.14.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6 + 1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Bước 3.1.14.4.2

Cộng $6$ và $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Bước 3.1.14.5

Nhân $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}}$ với $\frac{1 - e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e}}$

Bước 3.1.14.6

Nhân $e^{7}$ với $e$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.14.6.1

Nhân $e^{7}$ với $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.14.6.1.1

Nâng $e$ lên lũy thừa $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e^{1}}}$

Bước 3.1.14.6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7 + 1}}}$

Bước 3.1.14.6.2

Cộng $7$ và $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{8}}}$

Bước 3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$80 (1 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)})$

Bước 3.3

Nhân $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ với $1$ .

$80 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Bước 3.4

Kết hợp $80$ và $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ .

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Dạng thập phân:

$- 80.02684601 \dots$