Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 8} \frac{9 - 8 x + \sin (2 x)}{9 x + \cos (2 x)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 - 8 x + \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 - lim_{x \to - 8} 8 x + lim_{x \to - 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Bước 3

Tính giới hạn của $9$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{9 - lim_{x \to - 8} 8 x + lim_{x \to - 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Bước 4

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (lim_{x \to - 8} 2 x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Bước 6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + \cos (2 x)}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 8$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{lim_{x \to - 8} 9 x + lim_{x \to - 8} \cos (2 x)}$

Bước 8

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} \cos (2 x)}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (lim_{x \to - 8} 2 x)}$

Bước 10

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{9 - 8 lim_{x \to - 8} x + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 lim_{x \to - 8} x)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 lim_{x \to - 8} x + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 lim_{x \to - 8} x)}$

Bước 11.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 8$ cho $x$ .

$\frac{9 - 8 \cdot - 8 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân $- 8$ với $- 8$ .

$\frac{9 + 64 + \sin (2 \cdot - 8)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Bước 12.1.2

Nhân $2$ với $- 8$ .

$\frac{9 + 64 + \sin (- 16)}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Bước 12.1.3

Tính $\sin (- 16)$ .

$\frac{9 + 64 - 0.27563735}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Bước 12.1.4

Cộng $9$ và $64$ .

$\frac{73 - 0.27563735}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Bước 12.1.5

Trừ $0.27563735$ khỏi $73$ .

$\frac{72.72436264}{9 \cdot - 8 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $9$ với $- 8$ .

$\frac{72.72436264}{- 72 + \cos (2 \cdot - 8)}$

Bước 12.2.2

Nhân $2$ với $- 8$ .

$\frac{72.72436264}{- 72 + \cos (- 16)}$

Bước 12.2.3

Tính $\cos (- 16)$ .

$\frac{72.72436264}{- 72 + 0.96126169}$

Bước 12.2.4

Cộng $- 72$ và $0.96126169$ .

$\frac{72.72436264}{- 71.0387383}$

Bước 12.3

Chia $72.72436264$ cho $- 71.0387383$ .

$- 1.02372824$