Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $12$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{12 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Bước 5

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Bước 7

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Bước 10

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Bước 11

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Bước 12

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}}$

Bước 13

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Bước 14

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Bước 14.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Bước 14.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Bước 14.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Bước 15

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 512 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Bước 15.2

Nhân $12$ với $512$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Bước 15.3

Nhân $- 5$ với $8$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 40 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Bước 15.4

Trừ $40$ khỏi $6144$ .

$\sqrt{\frac{6104 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Bước 15.5

Cộng $6104$ và $7$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Bước 15.6

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 64 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Bước 15.7

Nhân $4$ với $64$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Bước 15.8

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 512}}$

Bước 15.9

Nhân $3$ với $512$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 1536}}$

Bước 15.10

Cộng $1$ và $256$ .

$\sqrt{\frac{6111}{257 + 1536}}$

Bước 15.11

Cộng $257$ và $1536$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1793}}$

Bước 15.12

Viết lại $\sqrt{\frac{6111}{1793}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$

Bước 15.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.13.1

Viết lại $6111$ ở dạng $3^{2} \cdot 679$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.13.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $6111$ .

$\frac{\sqrt{9 (679)}}{\sqrt{1793}}$

Bước 15.13.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 679}}{\sqrt{1793}}$

Bước 15.13.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$

Bước 15.14

Nhân $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ với $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}} \cdot \frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$

Bước 15.15

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.15.1

Nhân $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ với $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{\sqrt{1793} \sqrt{1793}}$

Bước 15.15.2

Nâng $\sqrt{1793}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} \sqrt{1793}}$

Bước 15.15.3

Nâng $\sqrt{1793}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} {\sqrt{1793}}^{1}}$

Bước 15.15.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1 + 1}}$

Bước 15.15.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{2}}$

Bước 15.15.6

Viết lại ${\sqrt{1793}}^{2}$ ở dạng $1793$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.15.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1793}$ ở dạng $1793^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{(1793^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 15.15.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 15.15.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Bước 15.15.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.15.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Bước 15.15.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{1}}$

Bước 15.15.6.5

Tính số mũ.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793}$

Bước 15.16

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.16.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{3 \sqrt{1793 \cdot 679}}{1793}$

Bước 15.16.2

Nhân $1793$ với $679$ .

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Dạng thập phân:

$1.84614580 \dots$