Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (2 x)}{e^{x} - 3 x - 1}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} 2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Bước 3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Bước 5

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Bước 6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}$

Bước 7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{\sin (16)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Bước 9.1.2

Tính $\sin (16)$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $- 3$ với $8$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1 \cdot 1}$

Bước 9.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1}$

Bước 9.2.3

Trừ $1$ khỏi $- 24$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 25}$

Bước 9.2.4

Viết lại $e^{8} - 25$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Viết lại $e^{8}$ ở dạng ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 25}$

Bước 9.2.4.2

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 5^{2}}$

Bước 9.2.4.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e^{4}$ và $b = 5$ .

$\frac{0.27563735}{(e^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Bước 9.3

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$\frac{0.27563735}{({2.71828182}^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Bước 9.4

Nâng $2.71828182$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{0.27563735}{(54.59815003 + 5) (e^{4} - 5)}$

Bước 9.5

Cộng $54.59815003$ và $5$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (e^{4} - 5)}$

Bước 9.6

Thay thế $e$ bằng một giá trị xấp xỉ.

$\frac{0.27563735}{59.59815003 ({2.71828182}^{4} - 5)}$

Bước 9.7

Nâng $2.71828182$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (54.59815003 - 5)}$

Bước 9.8

Trừ $5$ khỏi $54.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 \cdot 49.59815003}$

Bước 9.9

Nhân $59.59815003$ với $49.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{2955.95798704}$

Bước 9.10

Chia $0.27563735$ cho $2955.95798704$ .

$0.00009324$