Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Bước 5

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Bước 7

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Bước 8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Bước 9.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $8$ với $8^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $8$ với $8^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{8^{1} \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Bước 10.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt[3]{\frac{8^{1 + 3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Bước 10.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{8^{4} - 8}{8^{3} + 1}}$

Bước 10.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{4096 - 8}{8^{3} + 1}}$

Bước 10.3

Trừ $8$ khỏi $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{8^{3} + 1}}$

Bước 10.4

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{512 + 1}}$

Bước 10.5

Cộng $512$ và $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$

Bước 10.6

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$

Bước 10.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Viết lại $4088$ ở dạng $2^{3} \cdot 511$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1.1

Đưa $8$ ra ngoài $4088$ .

$\frac{\sqrt[3]{8 (511)}}{\sqrt[3]{513}}$

Bước 10.7.1.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 511}}{\sqrt[3]{513}}$

Bước 10.7.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{513}}$

Bước 10.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.8.1

Viết lại $513$ ở dạng $3^{3} \cdot 19$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.8.1.1

Đưa $27$ ra ngoài $513$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{27 (19)}}$

Bước 10.8.1.2

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19}}$

Bước 10.8.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Bước 10.9

Nhân $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Bước 10.10

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.1

Nhân $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Bước 10.10.2

Di chuyển $\sqrt[3]{19}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Bước 10.10.3

Nâng $\sqrt[3]{19}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Bước 10.10.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Bước 10.10.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Bước 10.10.6

Viết lại ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ ở dạng $19$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{19}$ ở dạng $19^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 10.10.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 10.10.6.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Bước 10.10.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Bước 10.10.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{1}}$

Bước 10.10.6.5

Tính số mũ.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19}$

Bước 10.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.11.1

Viết lại ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{19^{2}}}{3 \cdot 19}$

Bước 10.11.2

Nâng $19$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{361}}{3 \cdot 19}$

Bước 10.11.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.11.3.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{2 \sqrt[3]{361 \cdot 511}}{3 \cdot 19}$

Bước 10.11.3.2

Nhân $361$ với $511$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{3 \cdot 19}$

Bước 10.12

Nhân $3$ với $19$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

Dạng thập phân:

$1.99739752 \dots$