Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{4 + 27 x^{4}}{x^{4} + 5}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{4 + 27 x^{4}}{x^{4} + 5}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 4 + 27 x^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4} + 5}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 4 + lim_{x \to 8} 27 x^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4} + 5}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + lim_{x \to 8} 27 x^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4} + 5}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $27$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 27 lim_{x \to 8} x^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4} + 5}}$

Bước 6

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{4 + 27 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4} + 5}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 27 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 5}}$

Bước 8

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{4 + 27 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 5}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 27 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5}}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 27 \cdot 8^{4}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 5}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 27 \cdot 8^{4}}{8^{4} + 5}}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 27 \cdot 4096}{8^{4} + 5}}$

Bước 11.2

Nhân $27$ với $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 110592}{8^{4} + 5}}$

Bước 11.3

Cộng $4$ và $110592$ .

$\sqrt[3]{\frac{110596}{8^{4} + 5}}$

Bước 11.4

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{110596}{4096 + 5}}$

Bước 11.5

Cộng $4096$ và $5$ .

$\sqrt[3]{\frac{110596}{4101}}$

Bước 11.6

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{110596}{4101}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{110596}}{\sqrt[3]{4101}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596}}{\sqrt[3]{4101}}$

Bước 11.7

Nhân $\frac{\sqrt[3]{110596}}{\sqrt[3]{4101}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{4101}}^{2}}{{\sqrt[3]{4101}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596}}{\sqrt[3]{4101}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4101}}^{2}}{{\sqrt[3]{4101}}^{2}}$

Bước 11.8

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{110596}}{\sqrt[3]{4101}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{4101}}^{2}}{{\sqrt[3]{4101}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{\sqrt[3]{4101} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}$

Bước 11.8.2

Nâng $\sqrt[3]{4101}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{{\sqrt[3]{4101}}^{1} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}$

Bước 11.8.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{{\sqrt[3]{4101}}^{1 + 2}}$

Bước 11.8.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{{\sqrt[3]{4101}}^{3}}$

Bước 11.8.5

Viết lại ${\sqrt[3]{4101}}^{3}$ ở dạng $4101$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{4101}$ ở dạng $4101^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{{(4101^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 11.8.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{4101^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 11.8.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{4101^{\frac{3}{3}}}$

Bước 11.8.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.8.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{4101^{\frac{3}{3}}}$

Bước 11.8.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{4101^{1}}$

Bước 11.8.5.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt[3]{110596} {\sqrt[3]{4101}}^{2}}{4101}$

Bước 11.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.9.1

Viết lại ${\sqrt[3]{4101}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{4101^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596} \sqrt[3]{4101^{2}}}{4101}$

Bước 11.9.2

Nâng $4101$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{110596} \sqrt[3]{16818201}}{4101}$

Bước 11.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.10.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt[3]{110596 \cdot 16818201}}{4101}$

Bước 11.10.2

Nhân $110596$ với $16818201$ .

$\frac{\sqrt[3]{1860025757796}}{4101}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt[3]{1860025757796}}{4101}$

Dạng thập phân:

$2.99881644 \dots$