Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x - \frac{π}{2}}$

Bước 1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để viết $x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Bước 1.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Bước 1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Bước 2

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0} \ln (\sin (x)) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (\sin (x))$ và $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Bước 3

Lập giới hạn ở dạng giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào giá trị cho biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $\frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\ln (\sin (0)) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Bước 4.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Bước 4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 - π}$

Bước 4.3.2

Trừ $π$ khỏi $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Bước 4.3.3

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Bước 4.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- 1 (1) π}$

Bước 4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$

Bước 4.6

Vì $- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$ không xác định, nên giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$

Bước 5

Lập giới hạn ở dạng giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Bước 6

Tính giới hạn phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x)) \cdot 2}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Bước 6.2

Vì hàm số $\ln (\sin (x))$ tiến dần đến $- \infty$ , hằng số dương $2$ nhân với hàm số tiến dần đến $- \infty$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Xét giới hạn với bội số không đổi $2$ đã bị loại bỏ.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Bước 6.2.2

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (\sin (x))$ giảm không giới hạn.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Bước 6.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Bước 6.3.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Bước 6.3.3

Tính giới hạn của $π$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - π}$

Bước 6.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{- \infty}{2 \cdot 0 - π}$

Bước 6.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{- \infty}{0 - π}$

Bước 6.5.1.2

Trừ $π$ khỏi $0$ .

$\frac{- \infty}{- π}$

Bước 6.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{- \infty}{π}$

Bước 6.5.3

Số vô cùng khi chia cho một số khác không hữu hạn sẽ cũng cho ra số vô cùng.

$- - \infty$

Bước 6.5.4

Một hằng số khác 0 nhân với vô cùng là vô cùng.

$\infty$

Bước 7

Nếu một trong các giới hạn một bên không tồn tại, thì giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$