Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{17 x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Bước 1

Chuyển số hạng $17$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$17 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$17 \frac{0}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$17 \frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.2

Đưa số mũ $3$ từ ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.8.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.8.1.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 0 + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.8.2

Cộng $0$ và $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 1)}^{3})}$

Bước 2.1.3.8.3

Cộng $0$ và $1$ .

$17 \frac{0}{\ln (1^{3})}$

Bước 2.1.3.8.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$17 \frac{0}{\ln (1)}$

Bước 2.1.3.8.5

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$17 (\frac{0}{0})$

Bước 2.1.3.8.6

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$17 (\frac{0}{0})$

Bước 2.1.3.9

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$17 (\frac{0}{0})$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$17 (\frac{0}{0})$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$17 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Bước 2.3.3.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.5

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.6

Kết hợp ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ và $\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ và ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Đưa ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ ra ngoài $3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.1

Đưa ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ ra ngoài ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Bước 2.3.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Bước 2.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Bước 2.3.11

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Bước 2.3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Bước 2.3.13

Nhân $- 2$ với $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}$

Bước 2.3.14

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)}$

Bước 2.3.15

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)}$

Bước 2.3.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.16.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1}}$

Bước 2.3.16.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.16.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}}$

Bước 2.3.16.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 2.3.16.2.3

Viết lại đa thức này.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}}$

Bước 2.3.16.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Bước 2.3.16.3

Nhân $2 x - 2$ với $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 x - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Bước 2.3.16.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.16.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.16.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Bước 2.3.16.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Bước 2.3.16.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2 (x - 1) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Bước 2.3.16.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}}$

Bước 2.3.16.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x - 1$ và ${(x - 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.16.5.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $6 (x - 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}}$

Bước 2.3.16.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.16.5.2.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài ${(x - 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Bước 2.3.16.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Bước 2.3.16.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6}{x - 1}}$

Bước 2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$17 lim_{x \to 0} 1 \frac{x - 1}{6}$

Bước 2.5

Nhân $\frac{x - 1}{6}$ với $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{6}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{6}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) lim_{x \to 0} x - 1$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)$

Bước 4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) (0 - 1 \cdot 1)$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $17$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1 \cdot 1)$

Bước 5.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1)$

Bước 5.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{17}{6} \cdot - 1$

Bước 5.4

Nhân $\frac{17}{6} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Kết hợp $\frac{17}{6}$ và $- 1$ .

$\frac{17 \cdot - 1}{6}$

Bước 5.4.2

Nhân $17$ với $- 1$ .

$\frac{- 17}{6}$

Bước 5.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{17}{6}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{17}{6}$

Dạng thập phân:

$- 2.8\overline{3}$